고1 - 문자와 식

다항식의 연산 (1) (다항식의 곱셉)

이항식과 다항식의 곱셈

(1 + x)(x² - 5x - 6)

분배 법칙

= 1(x² - 5x - 6) + x(x² - 5x - 6)

다시 분배 법칙

= 1(x²) + 1(-5x) + 1(-6) + x(x²) + x(-5x) + x(-6)
= x² -5x - 6 + x³ - 5x² - 6x

정리

= x³ - 4x² - 11x - 6

이항식과 다항식의 곱셈 : 넓이

이항식과 다항식의 곱셈 (3y² - 2y + 1)(y² - 6y) 는 아래와 같이 사각형의 넓이를 구하는 공식으로 볼 수 있다.
각 항들의 곱이 해당 사각형의 넓이 이고, 이를 모두 더한 값이 전체 사각형의 넓이가 된다.
즉 두 변의 길이가 (3y² - 2y + 1) 와 (y² - 6y)인 사각형의 넓이는 아래와 같다.
(3y² - 2y + 1)(y² - 6y) = 3y⁴ - 20y³ + 13y² - 6y

다항식의 특별한 곱셈 : 합차 공식

(a+b) x (a-b) = a² - b²

증명
(a+b) x (a-b)
= a² -ab + ab - b²
= a² - b²

다항식의 연산 (2) (다항식의 나눗셈)

다항식을 x로 나누기 (나머지 있음)

\(\frac{18x^4 - 3x^2 + 6x - 4}{6x}\) \(= \frac{18x^4}{6x} + \frac{-3x^2}{6x} + \frac{6x}{6x} + \frac{-4}{6x}\)
\(= 3x^3 -\frac{1}{2}x + 1 -\frac{2}{3x}\) \(나머지 = -\frac{2}{3x}\)

이차식을 나머지가 있는 일차식으로 나누기 : x항 없음

\(\frac{x^2 + 1}{x+2}\) \(= \frac{(x+2)(x-2) + 5}{x+2}\) \(= \frac{(x+2)(x-2)}{x+2} + \frac{5}{x+2}\) \(= x-2 + \frac{5}{x+2},(x \neq -2)\)

이차식을 일차식으로 나누기 (나머지 없음)

\(\frac{x^2 + 7x + 10}{x+2}\) \(= \frac{(x+2)(x+5)}{x+2}\) \(= x+5,(x \neq -2)\)

나머지 정리

다항식의 나머지 정리 입문

f(x) 가 다항식 일 때, (x-a)로 나눈 나머지는 f(a) 이다. \(f(a) = f(x) \% (x-a)\)

증명

$ f(x) = 3x^2 - 4x + 7 $
$ f(x) / (x-1) $
$ = \frac{3x^2 -3}{x-1} + \frac{-4x + 10}{x-1} $
$ = \frac{3x^2- 3}{x-1} + \frac{-4x + 4 + 6}{x-1} $
$ = \frac{3(x+1)(x-1)}{x-1} + \frac{-4(x-1) + 6}{x-1} $
$ = 3(x+1) -4 + \frac{6}{x-1} $
$ = 3x + 3 - 4 + \frac{6}{x-1} $
$ = 3x -1 + \frac{6}{x-1} $
$ 즉, 몫은 3x - 1, 나머지 = 6 $
$ f(a) $
$ = 3(1)^2 - 4(1) + 7 $
$ = 3 - 4 + 7 $
$ = 6 $
$ 즉, f(a)=f(x) \% (x-a) $

나머지 정리 예제

\(P(x) = x^4 -2x^3 + kx^2 - 11, k는 미지의 정수\)
\(P(x) \% (x-2) = 1\)
\(k = ?\)

풀이 $ P(2) = 1 $
$ 2^4 - 2 * 2^3 + k * 2^2 - 11 = 1 $
$ 2^4 - 2^4 + 2^2 * k - 11 = 1 $
$ 4k - 11 = 1 $
$ 4k = 12 $
$ k = 3 $

다항식의 나머지 정리 증명

$ f(x) = 3x^2 - 4x + 7\ 일\ 때 $
$ f(x) / (x-1) 의\ 몫은\ 3x - 1, 나머지는\ 6이므로 $
$f(x) = (3x-1)(x-1) + 6 $
$ 이\ 때,\ x\ =\ 1이\ 되면\ (x-1)\ 부분이\ 0이\ 되므로$
$ f(1) = 6,\ 즉,\ 나머지만\ 남게\ 된다. $
$ 따라서,\ 어떤\ 다항식\ f(x)를 $
$ f(x)\ =\ q(x)(x-a)\ +\ r\ 형식으로\ 만들게\ 되면 $
$ f(a)\ =\ r\ 이라는\ 식이\ 항상\ 성립하게\ 된다. $

인수정리 이용하기 : 계수 구하기

\(다항식\ P(x) = x^3 + 2x^2 + cx + 10\ 일\ 때\)
\((x - 5) 가\ P(x)의\ 인수가\ 되게하는\ c의\ 값은?\)
$ P(5) = 0\ 이므로 $
$ 5^3 + 2 * 5^2 + 5c + 10 = 0 $
$ 125 + 50 + 5c + 10 = 0 $
$ 185 + 5c = 0 $
$ 5c = -185 $
$ c = -37 $

이 때, 인수가 된다 라는 것은 나누어 떨어진다는 뜻으로,
$ P(x) = g(x)(x-5) + r$에서 나머지 r이 0이란 뜻이고,
이는 x = 5일 때, $ P(x) = 0 $이 성립한다는 의미이다.

인수정리 이용하기 : 인수 확인하기

\(다항식\ f(x) = 2x^4 -11x^3 + 15x^2 + 4x - 12\ 일 때,\)
\((x-3)이\ f(x)의\ 인수인지\ 확인하시오.\)
$(x-3)$이 $f(x)$의 인수가 되려면 $f(3) = 0$을 만족해야한다.
즉, $f(3)$일 때 나머지가 있다면, $(x-3)$은 $f(x)$의 인수가 아니다.
$ f(3)=23^4-113^3+153^2+43-12 $
$ =281-1127+15*9+12-12 $
$ =162-297+135+12-12 $
$ =162+135-297 $
$ =297-297 $
$ =0 $
$ f(x)=0 $이므로 $ (x-3) $은 $ f(x) $ 의 인수이다.

다항식의 나머지 정리 이용 : 나머지 구하기

\(다항식\ P(x)=-3x^3-4x^2+10x-7\ 일\ 때,\)
\(P(x)를\ (x-2)로\ 나눈\ 나머지는?\)
$ P(x)를\ (x-2)로\ 나눈\ 나머지는\ P(2)와\ 같으므로 $
$ P(2)=-32^3-42^2+102-7 $
$ =-38-44+102-7 $
$ =-24-16+20-7 $
$ =-47+20 $
$ =-27 $

출처

칸 아카데미